Зачем мне учить математику, если я собираюсь быть юристом или искусствоведом, а калькулятор всегда со мной? Такие вопросы все чаще задают юноши, обдумывающие житье. Если бы они только знали, как им нужна математика! Да не только им -- любому из нас. Почему? Об этом рассуждает известный математик и лингвист Владимир Андреевич Успенский, ученик блистательного Андрея Николаевича Колмогорова, профессор, заведующий кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Как преодолеть барьеры между гуманитариями и математиками, говорящими на разных языках, чем математика может помочь гуманитарным наукам и почему она остается неотъемлемой частью духовной культуры? Ответы на эти вопросы В. А. Успенский дает в своей прекрасной книге «Апология математики», умной, доброжелательной, интересной. Книга выпущена издательством «Амфора» в 2009 году. Вы можете поискать ее в книжных магазинах или купить через Интернет. С разрешения автора мы публикуем фрагменты одной главы в надежде, что каждый наш читатель захочет познакомиться с этой книгой целиком. Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия сегодняшнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьезные возражения. Ее родство с естественными науками, прежде всего -- с физикой, очевидно, и нередко приходится слышать, что математика является частью физики, поскольку описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом ее можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Не менее очевидна и логическая, приближающаяся к философской, природа математики. Скажем, знаменитую теорему Гёделя о неполноте, гласящую, что какие бы способы доказывания ни установить, всегда найдется истинное, но не доказуемое утверждение -- причем даже среди утверждений о натуральных числах, -- эту теорему можно считать теоремой теории познания. В 1950-х годах по возращении с индийских научных конференций московские коллеги-математики с изумлением рассказывали мне, что в Индии математику -- при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные -- относят к наукам гуманитарным. И на этих конференциях математикам приходилось сидеть не рядом с физиками, как они привыкли, а с искусствоведами. К великому сожалению, у людей гуманитарно ориентированных математика нередко вызывает отторжение, а то и отвращение. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует. Лет сорок назад было модно подчеркивать разницу между так называемыми физиками (к коим относили и математиков) и так называемыми лириками (к коим причисляли всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с легкой руки поэта Бориса Слуцкого, провозгласившего с 1959 году в стихотворении «Физики и лирики»: Что-то физики в почете, Однако само противопоставление условных физиков условным лирикам вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: «Негеометр (нематематик. -- В.У.) да не войдет сюда!» С другой стороны, самое математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины юриспруденции, ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах на народных собраниях, впервые возникло и шлифовалось понятие доказательства. Можно ли и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как мы видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками, об этом я не берусь судить. Но вот разрушать барьеры между представителями этих наук, между лириками и физиками, между гуманитариями и математиками -- это выглядит и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель -- уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, то есть превратить гуманитария отчасти в математика, а математика -- отчасти в гуманитария. <...> По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в ее практических приложениях. Но существование практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них -- такие, как, скажем, использование египетского треугольника (то есть треугольника со сторонами 3,4, 5) для построения прямого угла, -- также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Какой сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство стен, -- этот вопрос мы оставим читателю для размышлений.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Веревку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы веревки связывали. Затем за веревку брались три человека, удерживая ее в трех точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее веревку растягивали до предела -- так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причем тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника. Раздел математики, сейчас называемый математическим анализом, в старые годы был известен под названием «дифференциальное и интегральное исчисление». Отнюдь не всем обязательно знать точное определение таких основных понятий этого раздела, как «производная» и «интеграл». Однако каждый образованный человек должен иметь представление о «производном числе» как о мгновенной скорости и об «определенном интеграле» как о площади. Поучительно получить представление и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) -- решенных (проблема Ферма, проблема четырех красок), ждущих решения (проблема близнецов) и тех, которые заведомо не имеют решения (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритма). Ясное понимание того, что чего-то не существует -- чисел ли с заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов, -- создает особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математиками попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления. Все это, ломая традиционное восприятие математики как сухой цифири, создает образ живой области знания, живой в двух смыслах: и связанной с жизнью, и развивающейся, то есть продолжающей жить. Вообще, образованность предполагает ведь знакомство не только с тем, что непосредственно используется в профессиональной деятельности, но и с человеческой культурой как таковой, чьей неотъемлемой частью -- повторим это еще раз -- является математика. Однако образование состоит не только в расширении знаний. В не меньшей степени оно предполагает расширение навыков мышления. Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того и другого. Скажем, изучение широко распространенного в математике аксиоматического метода, при котором в рассуждениях дозволяется использовать только ту информацию, которая явно записана в аксиомах, прививает привычку к строгому мышлению. А знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение. Потребуется ли когда-нибудь, скажем, историку аксиоматический метод или бесконечные множества? Более чем сомнительно. Но вот строгость мышления и воображение не помешают ему. Поучительно сравнить между собой методы рассуждений, применяемые в математических и гуманитарных науках. На самом деле речь здесь идет о двух типах мышления, и человеку полезно овладеть каждым из них. Автор не берется (потому что не умеет) описать эти типы, но попытается проиллюстрировать на двух примерах свое видение различий между ними. <...> Все знают, что такое вода. Это вещество с формулой H2O. Но тогда то, что мы пьем, это не вода. Разумеется, в повседневной речи и математик, и гуманитарий и то и то называют водою, но в своих теоретических рассуждениях первый тяготеет к тому, чтобы называть водою лишь Н2О, а второй -- все, что имеет вид воды. Потому что математик исследует идеальные объекты, имеющие такой же статус, как, скажем, круги и треугольники, которых ведь нет в реальной природе; гуманитарий же изучает предметы более реалистические. <...> <...> Различие в понимании слов составляет существенную часть барьера между математическим и гуманитарным. И следует признать, что подавляющая часть людей находится по ту же сторону барьера, что и гуманитарии. Можно выделить два фактора, вызывающих указанное различие. Первый, очевидный, состоит в том, что математики оперируют точной терминологией, а в качестве терминов нередко используют слова обычного языка. Математический смысл этих слов может как приближаться к обычному смыслу, так и не иметь с ним ничего общего. Например, слова «кольцо» и «поле» обозначают в математике алгебраические структуры определенного вида, ничего общего не имеющие с обручальными кольцами и засеянными полями. В подобных случаях имеет место омонимия, то есть явление, при котором одинаково звучащие слова имеют различные значения, например «лук» как оружие и «лук» как растение. С другой стороны, математическое значение слова «угол» происходит от обыденного, однако эти значения не совпадают даже в простейшем случае угла между двумя прямыми линиями (а не, скажем, угла комнаты): обыденное значение вряд ли можно примирить с существованием угла в ноль градусов. В этих случаях мы сталкиваемся с явление полисемии, когда слово также имеет разные значения, которые, однако, близки друг другу. <...> Второй фактор более глубок и заключается, по-видимому, в том, что занятия математикой и сопряженное с ними систематическое использование точной терминологии определенным образом сказываются на психологии, по крайней мере в части восприятия слов. Привычка к профессиональному восприятию значений слов приводит подчас к забавным эпизодам. Вот один из них. Дело происходит в 1950-х годах на механико-математическом факультете Московского университета. На семинаре академика С. Л. Соболева (его имя сейчас носит Институт математики Сибирского отделения РАН) докладчик произносит: «А теперь я должен ввести целый ряд обозначений». Соболев, полагая, что не расслышал определения, спрашивает: «Простите, какой ряд вы называете целым?» (Поясню, что в математике, при терминологическом употреблении, слово «ряд» означает, грубо говоря, суммирование бесконечного числа слагаемых.) Пожалуй, существует и третий фактор, неупомянутый нами по той причине, что он, возможно, проявляется лишь в одном (но очень важном) слове. Фактор этот заключается в том, что для обозначения одного важнейшего -- и не только для математики! -- понятия в русском языке отсутствует нужное слово. А в математике понятие, о котором идет речь, обозначается словом «ложь». Толковые словари так определяют русское слово «ложь», выводя его смысл из глагола «лгать»: «неправда, намеренное искажение истины». Подчеркнем здесь слово «намеренное». <...> Мы видим, что значение русского существительного «ложь» непременно подразумевает субъекта и его злонамеренность. Но субъект со своими намерениями чужд математике. Вместе с тем в математике ощущается острая потребность в слове, обозначающем любое ложное утверждение. В качестве такового и выбрано слово «ложь». Таким образом, математика употребляет это слово, лишая его какой-либо нравственной оценки и отрывая от слова «лгать». Заметим, что в английском языке обнаруживаются два слова, соответствующие русскому слову «ложь»: это lie, передающее обычный, бытовой его смысл, и falsehood, заключающее в себе смысл математический. Заметим также, что слово, обозначающее любое истинное утверждение, в русском языке существует -- это слово «истина». Можно сказать: «Дважды два четыре -- это истина», -- и при этом не иметь в виду никого, кто бы собирался нас просветить. Но в математике можно сказать: «Дважды два пять -- это ложь», -- не имея в виду никого, кто бы стремился нас обмануть. (Вот тема для любителей философии языка: истина в русском языке объективна, а ложь субъективна.) Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, в значительной степени отраженную в языке, а гуманитарий -- точку зрения математика, в еще большей степени отраженную в языке математика. И то и другое трудно. Еще труднее не требовать признания одной из точек зрения единственно правильной. А потому призовем гуманитариев и математиков сделать шаг навстречу друг другу. И начинать надо с преподавания. <...> Изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики выполняет и другую, позволяя лучше понять сами моделирующие явления. Можно согласиться с теми, кто не устает напоминать об ограниченности математических моделей. Под ограниченностью понимается обычно их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте. Но нельзя согласиться с теми, кто в этой ограниченности видит слабость. Скорее, это сила. Математическая модель должна быть проста, а потому огрублена. Проиллюстрирую сказанное таким примером. Всем известно, что Земля -- шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля -- эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты уточнят, что Земля -- геоид; геоид есть геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхностью Земли без учета таких мелких деталей, как горы и т. п. (точнее, совпадает с той поверхностью, которую образовал бы Мировой океан, если бы все материки и острова были бы залиты водой или, еще более точно, были бы срезаны по уровню Мирового океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точностью описывающие моделируемый ими объект -- форму планеты Земля. Самая важная из этих моделей -- самая первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрута нужна, возможно, вторая, а для запуска баллистических ракет -- даже третья. Математическая модель для представителей гуманитарной науки -- то же, что скелет для художника, рисующего человека. Художник не изображает скелет, скелет скрыт и от него, и от разглядывающего картину, но, чтобы грамотно изобразить человеческую фигуру, полезно представить ее себе в виде скелетного каркаса, обросшего плотью. Так, гениальный математик Андрей Колмогоров очертил скелет понятия падежа, указав, в частности, основные исходные представления, необходимые для образования этого понятия. Гениальный лингвист Андрей Зализняк облек этот скелет лингвистической плотью в своем знаменитом трактате «Русское именное словоизменение».
Вряд ли мы когда-нибудь до конца познаем реальное строение окружающей нас Вселенной. Однако именно математические модели приближают нас к такому познанию и -- это главное -- объясняют, каким строение Вселенной может быть. А ведь если вдуматься, то понимание некоторых сторон устройства пространственно-временного континуума (а может, вовсе и не континуума, а чего-то дискретного) существенно для выживания человечества -- или, точнее, того, во что превратится человечество в далеком будущем. Из только что сказанного как бы напрашивается вывод, что главная цель обучения гуманитариев математике состоит в обучении их математическим моделям языка или хотя бы в создании фундамента для такого обучения. Однако это не так. Главная цель обучения гуманитариев математике -- психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления. «Математику уже за то любить стоит, -- писал М. В. Ломоносов, -- что она ум в порядок приводит». Помимо дисциплины мышления я бы назвал еще три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечислю их в порядке возрастания важности: первое -- это умение отличать истину от лжи; второе -- это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье -- это умение отличать понятное от непонятного. Влить элементы математической психологии в сознание гуманитариев (противники такого вливания назвали бы его индоктринизацией, а то и интоксикацией) можно как прямо, путем обучения в классах и аудиториях, так и косвенно, путем проведения совместных исследований, участия математиков в проводимых гуманитариями семинарах и т. п. К косвенным формам влияния относятся даже вопросы, задаваемые математиками в ходе лекций на гуманитарные темы. Здесь на память приходит известный случай из истории психологии. В конце XIX века в одной из больших аудиторий Московского университета была объявлена лекция на тему «Есть ли интеллект у животных?». Просветиться собралось несколько десятков, а то и сотен заинтригованных слушателей. Председательствовал заслуженный ординарный профессор математики Московского университета Николай Васильевич Бугаев, президент Московского математического общества (с 1891 по 1903 г.) и отец Андрея Белого. Перед началом доклада он обратился к аудитории с вопросом, знает ли кто-нибудь, что такое интеллект. Ответ оказался отрицательным. Тогда Бугаев объявил, что, поскольку никто из присутствующих не знает, что такое интеллект, лекция о том, есть ли он у животных, состояться не может. <...> Разумеется, математики не претендуют на то, чтобы разрешить проблемы, возникающие в гуманитарных науках (хотя, как уже упоминалось, именно математику Колмогорову принадлежит первое научное определение лингвистического понятия «падеж»). Но они помогают гуманитариям лучше уяснить суть этих проблем и критически отнестись к попыткам их решения. Роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою. Но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. <...> Строевая подготовка вырабатывает дисциплину -- только не дисциплину мышления, как математика, а дисциплину действий. <...> Спросите у «человека с улицы», в чем состоит аксиома о параллельных и в чем заключается открытие Лобачевского. Эксперимент показывает, что на первый вопрос ответ будет в большинстве случаев таким (причем и в России, и в Америке): аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. А в ответ на второй вопрос вам, скорее всего, скажут: Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. При этом отвечающий, как правило, знает, что прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Вопрос про аксиому о параллельных не является, разумеется, вопросом на испытание памяти. Точно также вопрос про открытие Лобачевского не призван проверить эрудицию. Оба вопроса -- на понимание смысла делаемых утверждений. Строго говоря, вся ситуация лежит не в сфере математики, а в сфере семантики русского или иного естественного языка. И это довольно типично: значительная часть уроков математики для гуманитариев как раз и должна, по нашему разумению, состоять в обсуждении этой семантики, а отчасти и в обучении ей. Математики впитывают семантику неосознанно, поскольку занятия математикой невозможны без четко сформулированных утверждений. Столь же неосознанно у гуманитариев семантика размывается -- не без влияния расплывчатых гуманитарных текстов. <...> К воспитываемой на уроках математики дисциплине мышления относится осознание отчетливого различия между истиной и ложью (в вышеуказанном математическом значении слова «ложь»), между доказанным и всего лишь гипотетическим, ведь эти различия нигде не проявляются с такой четкостью, как в математике. Автору очень хочется сказать, что математика -- единственная наука, где достигается абсолютная истина, но он все же на это не решается, так как подозревает, что абсолютность истины не достигается нигде. Но в любом случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Поэтому математика -- наилучший полигон для тренировки на истину. Истина -- основной предмет математики. Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика -- между должным и не должным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция -- между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика -- между истинным и ложным. Но логика сама по себе не создает истин. Ее законы носят условный характер: если истинно то-то и то-то, неизбежно истинно то-то и то-то. <...> Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай человек, то и он, Кай, смертен. Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, что математика становится тем самым на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: ее, и только ее, истины могут претендовать на абсолютность, они если не «совершенно», то «почти» абсолютны. Казалось бы, что может быть важнее и первичнее умения отличать истинные высказывания от высказываний ложных? Однако еще более важным, еще более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных. Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «Рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Это заявление бессмысленно, поскольку такой совокупности не существует. (В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «р» и потому должны принадлежать к этой совокупности. Слово «око» должно к ней принадлежать, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».) Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникала даже парадоксальная удовлетворительность, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать как всего лишь ложное, -- возникала потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности. <...> Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребенка, он, узнав, что ребенку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо прививать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании? Надо сказать, что квалификация высказывания как ложного, бессмысленного или непонятного, как правило, требует некоторого усилия -- иногда почти героического. Как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать? Не все и не всегда способны на такое усилие. Способность к такому усилию вырабатывается (во всяком случае, должна вырабатываться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика -- наука по природе своей демократическая. На ее уроках воспитывается -- а при некотором косвенном воздействии прививается -- демократизм. Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда он стал обучаться на механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик обнаруживал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал сам. Для профессора мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление -- но не для профессора гуманитарного факультета. Эти внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто ее провозглашает, академик или школьник; при этом академик может оказаться не прав, а школьник прав. Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания зависит от авторитета того, кому это высказывание принадлежит. «Это верно, потому что сказано имяреком» или даже «Это верно, потому что сказано мною» -- такие императивы, изреченные в явной или, чаще, в неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. В естественных науках и в математике они невозможны. <...> Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, героями которой одни называют великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие -- великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь изъявил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик начал его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царского статуса, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: «Нет царского пути в геометрии». | |
всего слов - 3757